a = 2R * sin(α/2)

S = n/2 * R² * sin(α)

l = 2πR

S = πR²

a = 2R * sin(α/2)

S = (πR²α)/360, где α – в градусах

h = R * (1 - cos(α/2))

S = 1/2 * R² * (πα/180° - sin α)

Площадь кругового кольца вычисляется по формуле: S = π(R² - r²), где R - радиус внешнего круга, r - радиус внутреннего круга.

Призма - это многогранник, основание которого состоит из равных многоугольников, а боковые грани являются параллелограммами.

Параллелепипед - это призма, у которой основания являются параллелограммами. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке.

Символ ∥ обозначает 'параллельно'.

Функция независимого переменного x обозначается как f(x).

Знак ∠ обозначает угол.

Символ, используемый для обозначения бесконечности, — это ∞.

π обозначает отношение длины любой окружности к её диаметру.

Функция cos обозначает косинус угла в тригонометрии.

Функция tg обозначает тангенс угла в тригонометрии.

Ctg обозначает котангенс угла в тригонометрии.

Функция sec обозначает секанс угла в тригонометрии.

Функция cosec обозначает косеканс угла в тригонометрии.

Arcsin обозначает арксинус угла в тригонометрии.

Функция arccos обозначает арккосинус угла в тригонометрии.

Функция arctg обозначает аркктангенс угла в тригонометрии.

Arcctg обозначает арккотангенс угла в тригонометрии.

Функция sh обозначает синус гиперболический.

Функция ch обозначает косинус гиперболический.

Th обозначает тангенс гиперболический.

Cth обозначает котангенс гиперболический.

Sch обозначает секанс гиперболический.

Функция csch обозначает косеканс гиперболический.

Lg и ln обозначают логарифмическую функцию (десятичный и натуральный логарифмы соответственно).

Log𝑎 обозначает логарифм по основанию 𝑎.

Lg 𝑏 обозначает десятичный логарифм числа 𝑏.

Ln 𝑏 обозначает натуральный логарифм числа 𝑏 (по основанию 𝑒).

Lim обозначает предел функции или выражения.

Lim 𝑓 (𝑥) обозначает предел функции при стремлении 𝑥 к величине 𝑎.

∑ обозначает сумму последовательности членов.

𝑑𝑓 (𝑥) обозначает производную функции по аргументу 𝑥.

Частная производная функции нескольких переменных — это производная функции по одному из её аргументов, при этом остальные аргументы считаются постоянными.

Мнимая единица обозначается как i, и её свойство: i² = -1.

Комплексное число записывается в виде w = a + bi, где a — действительная часть, а b — коэффициент при мнимой части.

Модуль комплексного числа w обозначается |w| и вычисляется по формуле |w| = √(a² + b²).

Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется по формуле: a * b = ax * bx + ay * by + az * bz.

Факториал обозначается n! и представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до n. Принимается, что 0! = 1.

Компоненты вектора a в декартовой системе координат обозначаются как ax, ay, az, и вектор a можно записать как a = ax * i + ay * j + az * k.

Векторное произведение векторов a и b обозначается как axb и вычисляется по определённой формуле, используя детерминант матрицы, составленной из компонентов векторов.

• Прямая линия является графиком линейной функции.
• Функция монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0.
• При b = 0 прямая линия проходит через начало координат (0,0).

• Парабола является графиком функции квадратного трёхчлена.
• Имеет вертикальную ось симметрии.
• Если a > 0, парабола имеет минимум; если a < 0 – максимум.
• Точки пересечения с осью абсцисс (если они есть) обозначаются как x₁ и x₂, которые являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

При a > 0 гипербола расположена в I и III четвертях, а при a < 0 - во II и IV четвертях. Асимптоты гиперболы - оси координат.

Асимптота экспоненциальной функции y = e^x - это ось абсцисс.

Вертикальные асимптоты логарифмической функции находятся на оси ординат.

Площадь: S = a * b; Диагональ: d² = a² + b².

У ромба стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны, они являются биссектрисами углов ромба и делятся точкой пересечения пополам.

S = a² * sin(α) = 1/2 * d₁ * d₂, где d₁ и d₂ - длины диагоналей.

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• Противоположные углы равны.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = ab * sin(α), где a и b - длины сторон, α - угол между ними.

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны.

• a и b - основания,
• m - средняя линия,
• h - высота.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = mh = (a + b) * h / 2, где a и b - основания, h - высота.

Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все внутренние углы равны между собой.

• Равносторонний треугольник - это правильный треугольник, у которого все стороны равны.
• Квадрат - это правильный четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 90 градусам.

α = 360°/n

β = 180° - α = 180° * (n-2)/n

cos α cos β = 1/2 (cos(α − β) + cos(α + β))

Основные соотношения для решения прямоугольных треугольников:

1. a = c · sin A
2. b = c · sin B
3. a = b · tg A
4. b = a · tg B

где a и b — катеты, c — гипотенуза, A и B — острые углы.

Угол B можно найти по формуле:

B = 90° - A

Если известны a и c, то можно найти:

1. B = 90° - A
2. b = √(c² - a²)
3. A = arcsin(a/c)

Если известны b и c, то можно найти:

1. A = 90° - B
2. a = √(c² - b²)
3. B = arcsin(b/c)

Основные элементы коссугольного треугольника:

• a, b, c — стороны
• A, B, C — противолежащие углы
• h — высота
• S — площадь
• p — полупериметр, где p = (a + b + c) / 2

a / sin A = b / sin B = c / sin C

S = 1/2 * a * b * sin C

C = 180 - (A + B)

Имеется два значения угла B: B1 и B2 = 180° - B1.

r = sqrt(((p-a)(p-b)(p-c)) / p)

a² = b² + c² - 2bc · cos A

(A+B) / 2 = 90 - C/2 ; tg(A-B)/2 = (a-b)/(a+b) ctg(C/2)

c = (a * sin C) / (sin A)

1. lim (xₙ ± yₙ) = lim xₙ ± lim yₙ
2. lim (xₙ ⋅ yₙ) = lim xₙ ⋅ lim yₙ
3. lim (c ⋅ xₙ) = c ⋅ lim xₙ
4. lim xₙ = lim yₙ, если lim yₙ ≠ 0.

Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и ∞/∞. Оно гласит:
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x),
где x → a. Правило можно применять несколько раз, если существуют производные высших порядков.

Производная функции определяется как:
y'(x) = dy/dx = lim (y(x + Δx) - y(x)) / Δx,
где Δx → 0.

Производная функции sin(x) равна cos(x).

Производная функции cos(x) равна -sin(x).

Производная функции tg(x) равна 1/cos^2(x).

Производная функции arcsin(x) равна 1/√(1-x^2).

Производная функции ln(x) равна 1/x.

Правило: d/dx (a u + b v) = a du/dx + b dv/dx, где a и b — постоянные величины.

Производная функции 1/x равна -1/x^2.

Производная функции e^x равна e^x.

Производная функции x^n равна n*x^(n-1).

Правило: d/dx (u v) = u dv/dx + v du/dx.

Правило: d/dx (u/v) = (v du/dx - u dv/dx) / v^2.

Неопределённый интеграл — это функция вида ∫f(x)dx = F(x) + C, где C — произвольная постоянная. Он обладает свойством: F'(x) = f(x), где f(x) — подынтегральная функция.

1. ∫[u(x)+v(x)]dx = ∫u(x)dx + ∫v(x)dx
2. ∫u(x) dv(x) = u(x)·v(x) − ∫v(x)·du(x) (интегрирование по частям).
3. ∫a f(x) dx = a ∫ f(x) dx;
4. ∫ f(y) dy = ∫ f(φ(x)) φ'(x) dx, если y = φ(x) (замена переменной).

Определённый интеграл обозначается как ∫_a^b f(x) dx и представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью x и вертикальными линиями в точках x = a и x = b.

Если ∫ f(x) dx = F(x) + C, то определённый интеграл вычисляется как ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

Сумма первых n натуральных чисел вычисляется по формуле: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.

Сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле: 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.

Сумма кубов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле: 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (n(n+1)/2)^2.

Простые числа - это натуральные числа, которые имеют только два делителя: 1 и само число. Примеры простых чисел между 1 и 1000: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 и так далее.

Основные математические постоянные включают:

1. Число π (пи) - приблизительно 3.14159, отношение длины окружности к её диаметру.
2. Число e - приблизительно 2.71828, основание натурального логарифма.
3. Золотое сечение (φ) - приблизительно 1.61803, часто встречается в природе и искусстве.

Графики элементарных функций представляют собой визуальное отображение зависимости между переменной x и функцией f(x). Основные элементарные функции включают:

• Линейные функции: f(x) = mx + b
• Квадратичные функции: f(x) = ax² + bx + c
• Степенные функции: f(x) = x^n
• Тригонометрические функции: f(x) = sin(x), cos(x), tan(x)
• Экспоненциальные функции: f(x) = e^x
• Логарифмические функции: f(x) = log(x)

Основные формулы тригонометрии включают:

1. Синус: sin(θ) = противолежащий катет / гипотенуза
2. Косинус: cos(θ) = прилежащий катет / гипотенуза
3. Тангенс: tan(θ) = противолежащий катет / прилежащий катет
4. Основные тождества:
   • sin²(θ) + cos²(θ) = 1
   • 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
   • 1 + cot²(θ) = csc²(θ)

Пределы в математике описывают поведение функции при приближении аргумента к определённому значению. Основные свойства пределов:

1. Линейность: lim (af(x) + bg(x)) = alim f(x) + blim g(x)
2. Произведение: lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x)
3. Частное: lim (f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x), если lim g(x) ≠ 0
4. Свойство предела суммы: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Скорость света варьируется в зависимости от среды, в которой он проходит. Например, в вакууме скорость света составляет примерно 299,792 км/с, в воде — около 225,000 км/с, а в стекле — примерно 200,000 км/с.

Освещённость — это количество света, падающего на единицу площади. Она измеряется в люксах (лк). Естественные источники света, такие как солнце, создают различную освещённость в зависимости от времени суток и погодных условий.

Основные элементарные частицы атомов включают протоны, нейтроны и электроны. Протоны имеют положительный заряд и находятся в ядре атома, нейтроны не имеют заряда и также находятся в ядре, электроны имеют отрицательный заряд и вращаются вокруг ядра.

Период полураспада (𝑇₁/₂) — это время, за которое половина радиоактивного изотопа распадается. Он является важным показателем стабильности изотопа и его радиоактивности.

Сумма углов треугольника: A + B + C = 180°.

Шкала электроотрицательности по Оллреду и Рохову используется для оценки способности атомов притягивать электроны в химических связях. Чем выше значение электроотрицательности, тем сильнее атом притягивает электроны.

Окислительно-восстановительная шкала представляет собой стандартные потенциалы окислительно-восстановительных пар в водном растворе при температуре 298,15 K. Она используется для определения способности веществ к окислению или восстановлению.

Таксономические категории в биологии включают:

1. Царство
2. Тип
3. Класс
4. Порядок
5. Семейство
6. Род
7. Вид

Система живого мира включает три основных царства:

1. Царство: Грибы (Fungi, Mycota)
2. Царство: Растения (Plantae)
3. Царство: Животные (Zoa, Animalia)

Сроки жизни деревьев могут варьироваться от нескольких десятилетий до тысячелетий, в то время как высота может достигать от нескольких метров до более 100 метров в зависимости от вида.

Плотность древесины варьируется в зависимости от вида дерева, но в среднем составляет от 0.3 до 1.2 г/см³.

Съедобные грибы часто содержат высокие уровни белка, витаминов и минералов, что делает их питательными, но их ценность может варьироваться по сравнению с другими продуктами, такими как мясо и овощи.

Сроки жизни животных варьируются в зависимости от вида: от нескольких лет у мелких млекопитающих до более 100 лет у некоторых морских черепах и китов.

Сроки беременности и количество детёнышей варьируются:

1. У человека - 9 месяцев, 1 детёныш
2. У собак - 2 месяца, 1-12 детёнышей
3. У кошек - 2 месяца, 1-8 детёнышей
4. У слонов - 22 месяца, 1 детёныш

Наибольшие животные, такие как синий кит, могут достигать длины до 30 метров и массы до 200 тонн.

Нормальная температура тела человека составляет около 36.6-37.2 °C, а количество ударов сердца в минуту - 60-100 ударов.

Скорость полёта различных животных варьируется:

1. Стриж - до 160 км/ч
2. Ястреб - до 240 км/ч
3. Колибри - до 54 км/ч

Основные климатические области Земли по обеспеченности суши водой включают:

1. Тропические области - высокая влажность и обилие осадков.
2. Субтропические области - умеренное количество осадков, с сухими и влажными сезонами.
3. Умеренные области - разнообразие климатических условий, от морского до континентального.
4. Субарктические и арктические области - низкие температуры и ограниченное количество осадков.

Годовой водный баланс Земли включает:

• Осадки - количество воды, выпадающей в виде дождя или снега.
• Испарение - количество воды, испаряющейся из океанов, рек и озёр.
• Сточные воды - количество воды, возвращающейся в океаны и моря через реки и ручьи.

Баланс рассчитывается как:

Годовой водный баланс = Осадки - Испарение - Сточные воды

Вредные вещества, загрязняющие окружающую среду, включают:

• Тяжёлые металлы (свинец, ртуть, кадмий)
• Пестициды и гербициды
• Промышленные отходы
• Синтетические химикаты (пластики, растворители)
• Выбросы углекислого газа и других парниковых газов

Кларки элементов - это средние содержания химических элементов в земной коре. Они используются в геологии для:

• Оценки распространённости элементов в различных горных породах.
• Исследования минеральных ресурсов.
• Понимания геохимических процессов в природе.

Жизненно важные элементы для человека и природы включают:

Шкала Бофорта — это шкала, используемая для оценки скорости ветра. Она классифицирует ветер по его воздействию на окружающую среду, от легкого бриза до урагана.

Основные виды облаков включают:

1. Кумулюс — пушистые облака, похожие на хлопья.
2. Стратус — низкие, серые облака, покрывающие небо.
3. Циррус — высокие, тонкие облака, состоящие из кристаллов льда.
4. Нимбус — облака, приносящие дождь.

Основные параметры землетрясений включают:

1. Магнитуда — измеряет энергию, высвобожденную при землетрясении.
2. Интенсивность — описывает воздействие землетрясения на людей и здания.
3. Глубина — расстояние от поверхности до эпицентра землетрясения.

Шкала интенсивности землетрясений в баллах используется для оценки воздействия землетрясения на людей, здания и природу. Она помогает классифицировать землетрясения по их разрушительной силе.

S = 1/2 * a * h = √3/4 * a²

Организация Объединённых Наций (ООН) — это международная организация, созданная для поддержания мира и безопасности, развития сотрудничества между государствами и защиты прав человека.

Совет Безопасности ООН отвечает за поддержание международного мира и безопасности, принимает решения о миротворческих операциях и санкциях.

Генеральная Ассамблея ООН обсуждает важные международные вопросы, принимает резолюции и формирует международное мнение.

Секретариат ООН осуществляет административные функции, поддерживает работу организации и обеспечивает выполнение решений Генеральной Ассамблеи и Совета Безопасности.

Местная Группа галактик — это группа, состоящая из более чем 54 галактик, включая Млечный Путь и Андромеду. Она характеризуется:

• Небольшим размером (около 10 Мпк в диаметре)
• Наличие как крупных, так и малых галактик
• Гравитационным взаимодействием между членами группы.

• Диаметр: около 100 000 световых лет
• Количество звёзд: от 100 до 400 миллиардов
• Форма: спиральная
• Подсистемы: включает ядро, спиральные рукава и сферическое звёздное скопление.

Метеориты — это обломки астероидов или комет, которые достигают поверхности Земли. Они образуются в результате столкновений в космосе, когда частицы отделяются от своих родительских тел и попадают в атмосферу Земли; часть сгорает (метеор), а оставшиеся фрагменты, достигшие поверхности, становятся метеоритами.

1. Велосипед — экологически чистый и доступный вид транспорта.
2. Автомобиль — наиболее распространённый вид для личных поездок.
3. Железная дорога — используется для грузовых и пассажирских перевозок на большие расстояния.

1. Первый искусственный спутник — «Спутник-1», запущенный в 1957 году.
2. Первый человек в космосе — Юрий Гагарин в 1961 году.
3. Лунные экспедиции — миссии «Аполлон», которые привели к высадке человека на Луну.
4. Создание международной космической станции (МКС) — платформа для научных исследований в космосе.

1. Год
2. Месяц
3. Сутки
4. Час
5. Минута
6. Секунда

Операционная система компьютера — это набор программ, который управляет аппаратными ресурсами компьютера и предоставляет услуги для выполнения программ. Она обеспечивает взаимодействие между пользователем и компьютером, а также управляет файлами и папками.

Системы управления базами данных (СУБД) — это программные системы, которые позволяют создавать, управлять и манипулировать базами данных. Они обеспечивают удобный доступ к данным и их защиту.

1. Ввод и редактирование данных
2. Выполнение расчетов с помощью формул
3. Создание графиков и диаграмм
4. Анализ данных с помощью функций
5. Форматирование таблиц

Логические операции - это операции, которые выполняются над логическими значениями (истина или ложь). Основные логические операции:

1. И (AND)
2. ИЛИ (OR)
3. НЕ (NOT)

Фонетика изучает звуковую систему языка, включая характеристики гласных и согласных фонем, слог, ударение и другие аспекты звукового оформления речи.

Гласные фонемы характеризуются такими признаками, как:

1. Носовые и неносовые;
2. Долгие и короткие;
3. Открытые и закрытые;
4. Губные, язычные и гортанные.

Морфемика изучает морфемы, их обозначения и функции в словах, а словообразование рассматривает способы образования слов и словообразовательную мотивацию.

Основные части речи в русском языке включают:

1. Имя существительное;
2. Имя прилагательное;
3. Имя числительное;
4. Глагол;
5. Причастие;
6. Деепричастие;
7. Местоимение;
8. Наречие;
9. Предлог;
10. Союз;
11. Частица;
12. Междометия;
13. Звукоподражания.

Лексика изучает словарный состав языка и включает такие категории, как:

1. Однозначные слова;
2. Многозначные слова;
3. Переносные значения;
4. Синонимы;
5. Антонимы.

Срфограммы наречия - это правила и особенности написания наречий в русском языке, включая их морфологические и синтаксические характеристики.

Правила правописания слов с ПОЛ- определяют, как правильно писать слова, начинающиеся с этого префикса, в зависимости от их значения и грамматической формы.

Основные правила переноса слов включают: 1. Переносить слова следует по слогам. 2. Нельзя оставлять одну букву на строке. 3. При переносе сложных слов следует учитывать их состав.

Основные правила употребления прописных букв включают: 1. Прописные буквы используются в начале предложения. 2. Прописные буквы используются в именах собственных. 3. Прописные буквы используются в названиях организаций и учреждений.

Простое предложение - это предложение, состоящее из одного главного члена (подлежащего и сказуемого) и выражающее законченную мысль. Характеризуется наличием одного грамматического основы.

Сложное предложение - это предложение, состоящее из двух или более простых предложений, связанных между собой. Характеризуется наличием союзов или союзных слов.

При прямой речи знаки препинания ставятся следующим образом: 1. Запятая ставится перед началом прямой речи. 2. Точка ставится в конце прямой речи, если она завершает предложение. 3. Вопросительные и восклицательные знаки ставятся в зависимости от интонации.

Площадь квадрата: S = a²; Диагональ: d = a√2, где d² = 2a².

Основные аспекты фонетики английского языка включают: 1. Гласные звуки - их классификация и произношение. 2. Согласные звуки - их особенности и правила чтения. 3. Правила чтения буквосочетаний и ударных слогов.

Морфология в английском языке изучает структуру слов, их формы и изменения. Включает изучение частей речи, таких как существительные, прилагательные, глаголы и т.д.

Основные правила употребления артиклей в английском языке: 1. Определенный артикль 'the' используется для обозначения конкретных объектов. 2. Неопределенные артикли 'a' и 'an' используются для обозначения любых объектов, не уточняя их.

Синтаксис — это раздел языкознания, изучающий правила и принципы построения предложений и словосочетаний в языке.

Основные члены простого предложения: подлежащее и сказуемое. Подлежащее указывает на предмет, о котором говорится, а сказуемое — на действие или состояние этого предмета.

Прямая речь — это точная передача слов говорящего, оформленная кавычками. Косвенная речь — это передача содержания высказывания без точного цитирования, с изменением формы.

Сложное предложение состоит из двух или более простых предложений, связанных между собой. Оно может быть сложносочинённым или сложноподчинённым.

Основные единицы СИ включают: метр (м) для длины, килограмм (кг) для массы, секунда (с) для времени, ампер (А) для силы тока, кельвин (К) для температуры, моль (моль) для количества вещества, кандела (кд) для силы света.

Неметрические единицы — это единицы измерения, которые не входят в систему СИ, но используются в некоторых странах, например, в США и Великобритании, такие как дюймы, фунты и галлоны.

LXXV соответствует числу 75.

MCMIX соответствует числу 1909.

DCCIL соответствует числу 749.

XCII соответствует числу 92.

CDXLI соответствует числу 441.

IC соответствует числу 99.

MMVI соответствует числу 2006.

IV соответствует числу 4.

VIII соответствует числу 8.

XVII соответствует числу 17.

Простые числа между 1 и 1000: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Знак ≥ обозначает 'больше или равно'.

Знак для сложения в математике — это + (плюс).

Умножение в математике может обозначаться знаками • или х, которые часто опускаются: a⋅b = a×b = ab.

Знак √a обозначает квадратный корень из числа a.

Корень n-й степени из числа a обозначается как ⁿ√a.

Основные параметры: a - амплитуда, ω - частота (ω = 2π/T), φ - фаза (сдвиг). Знак «+» обозначает пунктирную линию, а знак «-» - сплошную линию.

График функции y = cos(x) сдвинут по оси x на π/2 относительно графика функции y = sin(x).

Точки разрыва функции тангенса y = tg x находятся при x = (2k-1)π/2, где k = 0, ±1, ±2,... Вертикальные асимптоты расположены в этих точках.

График нормального распределения (гауссианы) имеет колоколообразную форму, симметричен относительно оси y и центрирован в точке x=0. Параметры A и a определяют высоту и ширину кривой, соответственно, где a = 1/(σ√(2π)) и σ² - дисперсия ошибки.

Функция секанса y = sec x является периодической. Вертикальные асимптоты расположены в точках x = (2k-1)π/2, аналогично функции y = tg x.

Уравнение круга с центром в точке (Хо, Уо) и радиусом r записывается как (x-xo)² + (y-yo)² = r².

Уравнение эллипса имеет вид: ((x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1), где (x₀, y₀) — координаты центра эллипса, (a) — большая полуось, (b) — малая полуось, а эксцентриситет (e) определяется как (e = \sqrt{(a² - b²)} / a.

Основные математические законы:

Уравнение затухающего колебания имеет вид: y = Ae^{-αx} · sin(ωx + φ), где A — амплитуда, α — коэффициент затухания, ω — угловая частота, φ — фаза.

Для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 используется формула:

x_{1,2} = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где: Δ = b² - 4ac — дискриминант. Δ > 0 — 2 корня, Δ = 0 — 1 корень, Δ < 0 — корни комплексные.

Для решения кубического уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 вводится новая переменная: y = x + b/(3a). После подстановки уравнение приводится к виду y³ + 3py + 2q = 0, где 3p = (3ac - b²)/(3a²), 2q = (2b³/(27a³)) - (bc/(3a²)) + d/a.

Дискриминант кубического уравнения D = q² + p³.

Если D > 0: одно действительное и два комплексных корня. Если D ≤ 0 и p < 0: три действительных корня (в некоторых представлениях выражаются через тригонометрические формулы).

Значения ε₁ и ε₂ — корни уравнения x² + x + 1 = 0:

ε_{1,2} = -1/2 ± i·(√3/2).

Перестановка — упорядоченный набор элементов. Число перестановок n элементов: P = n! = 1·2·...·n. Например, для n=3: 3! = 6 (abc, acb, bac, bca, cab, cba).

Сочетания C_n^m = n! / (m!(n-m)!). Количество способов выбрать m элементов из n без учёта порядка.

C_n^m = C_n^{n-m} — число сочетаний из n по m равно числу сочетаний из n по n-m.

Биномиальные коэффициенты формируют строки треугольника Паскаля: каждый элемент равен сумме двух над ним. Примеры: (a+b)^2 → коэффициенты 1,2,1; (a+b)^3 → 1,3,3,1.

(a+b)^n = Σ_{m=0}^n C_n^m a^{n-m} b^m, где C_n^m — биномиальные коэффициенты.

1. log_a(MN) = log_a M + log_a N
2. log_a(M/N) = log_a M - log_a N
3. log_a(N^k) = k·log_a N
4. log_a(√[k]{N}) = (1/k)·log_a N

Стороны: a, b, c. Углы: A, B, C. Высота обозначается h (с индексом в зависимости от стороны: h_a, h_b, h_c).

Медианы пересекаются в точке центра тяжести. Каждая медиана делится в отношении 2:1 от вершины к основанию.

Биссектрисы трёх углов пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности треугольника.

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности.

a² = b² + c² - 2bc·cos A.

lb = (2ac*cos(B/2))/(a+c)

lc = (2ab*cos(C/2))/(a+b)

Основные соотношения для определения синуса и косинуса:

• a = c * sin A = c * cos B
• b = c * sin B = c * cos A

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = (1/2) * a * b

Площадь произвольного треугольника вычисляется по формуле:

S = r * p, где p = (1/2) * (a + b + c) (полупериметр треугольника)

Основные соотношения для определения тангенса и котангенса:

• a = b * tg A = b * ctg B
• b = a * tg B = a * ctg A

Все стороны равны, все углы по 60°. Совпадают все медианы, высоты и биссектрисы; центры вписанной и описанной окружностей и центр тяжести.

Прямоугольный параллелепипед имеет основания в виде прямоугольников, а его рёбра перпендикулярны основаниям. Основные параметры: a — длина, b — ширина, c — высота, d — диагональ (все пространственные диагонали равны в прямоугольном параллелепипеде).

Куб — это прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются квадратами. Объём V куба рассчитывается по формуле V = a³, где a — длина ребра куба.

Объём пирамиды V вычисляется по формуле V = hS/3, где h — высота пирамиды, а S — площадь основания.

Тетраэдр — это треугольная пирамида, основание которой представляет собой треугольник.

Объём усечённой пирамиды V вычисляется по формуле V = h/3 (S₁ + S₂ + √(S₁S₂)), где h — высота между основаниями, S₁ и S₂ — площади оснований.

Правильные многогранники — это многогранники, у которых все грани — равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны. Существует всего пять правильных выпуклых многогранников.

Тетраэдр имеет 4 грани (треугольники), 6 рёбер и 4 вершины.

Куб имеет 6 граней (квадраты), 12 рёбер и 8 вершин.

Октаэдр имеет 8 граней (треугольники), 12 рёбер и 6 вершин.

Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольники), 30 рёбер и 20 вершин.

Икосаэдр имеет 20 граней (треугольники), 30 рёбер и 12 вершин.

Для круглого прямого цилиндра:

S = 2πRh V = πR²h

Для усечённого цилиндра:

S = πR(h₁ + h₂) V = πR²(h₁ + h₂)/2

Площадь поверхности сферы рассчитывается по формуле: S = 4πR², где R — радиус сферы.

Объём шара вычисляется по формуле: V = 4/3πR³, где R — радиус шара.

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная плоскостью и сферой (секториальная часть, включающая осевой конус и шляпку). Основные параметры: R — радиус шара, a — радиус окружности сечения, h — высота отсекаемой шляпки.

Площадь поверхности шарового сектора рассчитывается по формуле: S = πR(2h + a), где R — радиус шара, h — высота, a — радиус окружности сечения.

Объём шарового сектора вычисляется по формуле: V = 2/3 π R² h, где R — радиус шара, h — высота отсекаемой шляпки.

Шаровой сегмент — это часть шара, ограниченная плоскостью и сферой. Основные параметры: R — радиус шара, a — радиус окружности сечения, h — высота отсекаемой шляпки.

Площадь поверхности шарового слоя рассчитывается по формуле: S = π(2Rh + a² + b²), где R — радиус шара, a и b — радиусы окружностей сечений, h — высота слоя.

Объём шарового слоя вычисляется по формуле: V = 1/6 π h (3a² + 3b² + h²), где R — радиус шара, a и b — радиусы окружностей сечений, h — высота слоя.

Окружность единичного радиуса — это окружность с радиусом 1, на которой определяются основные тригонометрические функции. Она делится на 4 четверти, каждая из которых имеет свои знаки для тригонометрических функций.

Основные тригонометрические функции:

• sin α = BC
• cos α = OC
• tg α = AD

1. sin²α + cos²α = 1
2. tg α = sinα/cosα
3. ctg α = cosα/sinα
4. sec² α = 1 + tg²α
5. cosec²α = 1 + ctg²α
6. sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
7. cos(α±β) = cosα·cos β ∓ sinα·sinβ
8. tg(α±β) = (tgα±tg β) / (1∓tgα·tg β)

sin 2α = 2 sin α · cos α

cos 2α = cos² α − sin² α = 2 cos² α − 1 = 1 − 2 sin² α

tg 2α = 2tg α / (1 − tg² α)

sin α/2 = √(1 − cos α)/2

cos α/2 = √(1 + cos α)/2

tg α/2 = √(1 − cos α)/(1 + cos α) = (1 − cos α)/sin α = sin α / (1 + cos α)

cos nφ = cosⁿ φ − C²ₙ cosⁿ⁻² φ sin² φ + C⁴ₙ cosⁿ⁻⁴ φ sin⁴ φ − ...

sin nφ = n cosⁿ⁻¹ φ sin φ − C³ₙ cosⁿ⁻³ φ sin³ φ + C⁵ₙ cosⁿ⁻⁵ φ sin⁵ φ − ...

sin α + sin β = 2 sin (α + β)/2 · cos (α − β)/2

sin α − sin β = 2 cos (α + β)/2 · sin (α − β)/2

cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 · cos (α − β)/2

cos α − cos β = −2 sin (α + β)/2 · sin (α − β)/2

sin α sin β = 1/2 (cos(α − β) − cos(α + β))

sin α cos β = 1/2 (sin(α − β) + sin(α + β))